La Terre : Mesures de la pesanteur par une chute libre

Lors de la séance du 10 Décembre 2013 , nous avons essayé de confirmer que l'accélération du champ de pesanteur terrestre, noté g, est bien égal à 9,81 m.s-²
 
Protocole et mesures :
 
Afin de prendre des mesures, nous avons utilisé un logiciel nommé LatisPro.
Avec ce logiciel, nous avons étudié la vidéo de la chute d'une balle. Nous avons effectué le pointage c'est-à-dire la sélection à l'origine (trait rouge horizontal). Nous avons ensuite sélectionné l'étalon qui était de 1,00 mètre (en bleu). Nous avons ensuite fait une sélection manuelle des points (en vert). 

Par la suite nous avons tracer la courbe et sélectionner "mouvement Y" en fonction du temps de chute t :

Notre mesure de pesanteur est proche de la réalité (9,3 < g < 9,7 m/s²). Il y a cependant une incertitude expérimentale sur la valeur ainsi obtenue. Cette incertitude est notamment due à l’imprécision de nos mesures et à la qualité de l'acquisition vidéo.

En effet, pour obtenir ces résultats, nous avons suivi le protocole suivant :
-Sur le logiciel LatisPro, nous avons regardé la vidéo de la chute de la balle. Grâce au logiciel, nous avons pu placé un axe ainsi que la position de la balle sur chaque image. Ainsi nous avons obtenues les coordonnées de la balle en fonction du temps.
-Grâce à ces coordonnées nous avons obtenues la courbe suivante :

 Courbe représentative de la chute d'une balle en fonction du temps

Grâce à l'outil « Modélisation » du logiciel, nous avons obtenue le coefficient « a » du terme de plus haut degré de la fonction (parabole) modélisant de la courbe, il vaut -4,765 m/s².

-Nous savons que la courbe a pour équation : y(t)=-(1/2)*g*t²+v0*sin()+y0.
Or une équation du second degré s'écrit : a.t²+b.t+c.
Or a=-4,85 dans y(t), a=-(1/2)*g.
Donc g=a*(-(1/2)) <=> g=-4,765*(-(1/2)) <=> g=9,53 m/s².




Discussion :

La valeur conventionnelle de l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre « g » est de 9,80665 m.s-².
Il nous est cependant impossible de mesurer sa valeur exacte avec notre méthode car nous avons fait des erreurs accidentelles de quelques pixels en cliquant sur la souris pour situer la balle, ou en définissant la référence des altitudes. Il est donc très important de déterminer l'incertitude sur notre mesure de g. Il existe deux calculs d’incertitude complémentaires : le calcul de la "propagation des erreurs" et le traitement statistique.

• Calcul d'incertitude par traitement statistique :

Nous allons ici réaliser le calcul statistique qui consiste à répéter les mesures de « g », à calculer la moyenne de ces mesures, ainsi que son écart type, et enfin à évaluer l'incertitude en utilisant les outils de statistique tel que le logiciel Excel ou une calculatrice graphique.
Nous avons tout d’abord effectué 10 mesures de « g » en utilisant la même méthode à chaque fois. Nous avons trouvé les valeurs suivantes (en m/s²) : 

1	9,7
2	9,6
3	9,4
4	9,6
5	9,6
6	9,6
7	9,4
8	9,6
9	9,6
10	9,3

Ensuite, nous avons rentré ces valeurs dans le logiciel Excel et nous lui avons demandé de calculer sa moyenne et son écart type, nous avons obtenu respectivement 9.54 m.s-² et 0.13 m.s-².

Enfin nous avons calculé cette incertitude en utilisant la formule de Student :

Δgstat= K(n=10).σ/√10
        = 2,23*0,13/√10
        = 0,09 m.s-²
(avec K(n=10) le facteur de Student pour 10 mesures, correspondant à un intervalle de confiance à 95%, et σ l'écart-type de notre échantillon).

L'incertitude statistique relative obtenue par cette campagne de mesure est donc d'environ 1%. Cela montre que l'expérience est reproductible, mais cette incertitude est plus faible que l'écart à la théorie (environ 0,3 m/s²) : il y a donc un biais systématique quelque part dans notre expérience.

• Calcul d'incertitude par propagation des erreurs : 

Ce calcul d'incertitude repose sur les erreurs de mesure qui ont pu être faites lors de la réalisation de l'expérience.

Lors de la mesure de g nous avons obtenu des résultats proches de g mais jamais la valeur de référence, cela peut s'expliquer de différentes manières:
- l’imprécision du calibrage (référence d'échelle : 1,0 m),
- l'imprécision de positionnement de la référence des altitudes,
- et surtout l’imprécision de notre pointage des positions (de quelques pixels).

Nous allons nous intéresser aux erreurs des pixels pour savoir à combien de pixels près nous avons pu nous tromper.
Nous savons qu'une photo a une taille de 500*640 pixels.
Théoriquement nous obtenons , y(t)= -1/2gt² , donc en fin de chute nous obtenons :
   Ymax= -1/2gt²
  soit g= 2.Ymax/t²

Donc l'ordre de grandeur de l'incertitude par "propagation des erreurs" peut s'écrire : 
Δg /g= ΔYmax/Ymax + 2Δt/t = ΔYmax/Ymax 
en supposant que l'incertitude sur le chronométrage des clichés est négligeable devant celle sur notre pointage à la main.

En supposant que l'on se trompait au pire de 3 pixels lors des pointages, obtient donc :
Δg /g = ΔYmax/Ymax + 2Δt(totale)/t(totale).
Nous pouvons négliger   2Δt(totale)/t(totale) devant ΔY/Y car cette a été défini par la camera donc c'est très précis.

Nous avons mesurer la longueur correspondant à 1 pixel.
1) Etalonnage avec 1 mètre
2) On place l'origine tout en haut
3) Mesure de la distance : point 1 au point 2
L= 1.9685m, donc un pixel vaut = 1.9685/500 = 4mm

Δg= g x Δymax/ymax= 9.8x3x(4.10^-3)/1.65 = 0.07ms-²
L’écart prévu est inférieur à l'écart expérimental.

CONCLUSION: Il y a un oubli dans le calcul de g car l'écart prévu est inférieur à l'écart l'observé.

SOLUTION:  Le problème est que le logiciel  donne une vitesse initiale non nulle, donc la parabole est faussée.
 

 Bilan :

On retiendra 3 points essentiels :

1. La moyenne expérimentale du champ de pesanteur « g » que nous avons obtenue est : gexp= 9.53 m.s-² ; la valeur attendue est autour de 9,81 m.s-²
2. Avec les deux calculs d’incertitude nous obtenons deux valeurs Δg : Δgstat = 0.09 m.s-² et Δgexp=0.07 m.s-².
3. Nous observons un problème car l’écart observé (0.5 m/s²) est clairement supérieur aux écarts raisonnables estimés. Il y a donc une erreur dans le protocole qui n'est pas due aux instruments de mesure, ni à l'expérimentateur. Nous pensons que cela est dû à la vitesse initiale de la balle : elle est sans doute non nulle en début d’expérience, dans la vidéo fournie par le logiciel LatisPro. Cependant, nous pourrions résoudre ce problème en réalisant nous même l’expérience à l’aide d’un matériel adapté en filmant la balle à une vitesse initiale nulle.